更有意思的是，太阳同步轨道所在平面会随着地球公转同步缓慢转动，使得轨道平面与太阳光线始终保持同一个夹角。换而言之，从这一类卫星的视角看，太阳的位置几乎是相对静止的，不会像在地面上那样升起或落下——这正是“太阳同步”这个名字的由来。这一特性带来两大好处：一来，卫星拍摄的图像中，阳光照射角度恒定不变，分析人员可以轻松排除因光影差异造成的误读；二来，在合适的晨昏太阳同步轨道上，卫星的太阳能电池板可以几乎24小时不间断受光，大大减轻了电力模块的负担。

那么，为什么这一条轨道这么特殊？它为何能“自动”缓慢旋转，始终对准太阳方向？这正是本节物理课中，张朝阳希望通过基础的数学与物理分析来理解的核心问题。

“微胖”地球施加给卫星的力矩

如果将地球简单地视为一个完美球体，那么绕地的卫星将在牛顿引力的约束下，沿某个固定平面上的椭圆轨道运行。这类轨道的极坐标满足如下方程：

其中和是标记不同轨道一组常数，它们又可以等价地换算为椭圆的半长轴和偏心率：

两个常数中，与卫星的单位质量角动量直接相关，通过比奈公式可以证明：

当偏心率时，椭圆退化为圆形轨道。在前面的多节天体物理课程及《张朝阳的物理课》第一卷中，张朝阳已经详细推导过这些结论，这里不再赘述。

然而，真实的地球并不完美，而是一个两极稍扁、赤道略鼓的椭球体，其扁率

其中是赤道半径，是极半径，指代平均半径。这个数值虽小，却带来了不可忽视的影响——地球的整体引力势不再纯粹是牛顿点引力，而会出现高阶修正。将势能函数按展开并保留到线性阶，可以得到：

这里是二阶勒让德多项式，是极角。这一展开式可以利用勒让德多项式的性质严格导出，具体计算过程在往期直播课或《张朝阳的物理课》第二卷中有详细介绍。

由于地球的扁率很小，我们可以借鉴微扰法的思想，来分析非牛顿引力势对卫星运动的影响。首先，仍***设卫星近似沿着某一固定平面上的封闭圆轨道运动，且轨道平面法向量、轨道短轴及地球极轴处于同一竖直平面内。如图1，将轨道平面的法向量与地球极轴夹角记为，半长轴与极轴夹角记为，根据几何关系，显然应有。

图1. 极轴、椭圆轨道与法向量的几何关系示意图

定性地来看，由于地球身形“微胖”，卫星飞跃北半球时，赤道的隆起会使其感受到的引力并非精准指向地心，而是稍微向下偏折。这就好比把轨道平面想象成一块木板，木板上半侧受到一个额外的向下“掰力”。相反，卫星运行到南半球时，感受到的引力又会略微向上偏离地心，相当于木板下半侧受到一个向上“掰力”。两力协同，形成了一个试图掰动平面的力矩。不过，由于地球的赤道隆起并不明显，这一力矩相对于卫星所拥有的角动量而言极其微弱。就像小时候玩的地猴或陀螺一样，一个微弱但持续存在的力矩不会使自转轴直接倒下，而是会驱动它缓慢进动。

定量上，这个“掰力”无疑来自于势能公式(2)中的第二项，即扁率修正项。如果某时刻，卫星处于图1中位置，可记其仰角为，轨道平面上的方位角仍记为。接下来，我们需要分析一个立体几何问题。在极轴上取任意一点，记其与原点的距离为，并过该点分别作短轴与卫星径向线的垂线，垂足分别为、，连接两个垂足。由于平行于平面法向量，不难证明同时垂直于和。从而，根据线面垂直的相关定理，可以证明：垂足的连线也一定垂直于。

进而，从的长度出发，可以利用直角三角形直接算出的长度；也可以经由两个直角三角形和算出的长度。两个结果应该相等，进而可以建立等式

其中是短轴与卫星径向线的夹角。从而，可以推知：

代入势能表达式(2)，应有

现在，我们来求轨道平面法向量方向所受到的力矩。瞬时的力矩是势能对角度的负梯度

随着卫星的运动，上式中的和都在变化，它们之间满足轨道方程(1)，但是力矩大小一直是个小量。在实际物理过程中，至少在卫星运转一周的时间尺度上，力矩的积累效应才能形成可观的效应。为了简单起见，我们可以认为卫星的轨道近似是个圆轨道，从而是个不随时间变化的常数。在卫星绕转一周的过程中，它感受到的平均力矩为

这个平均力矩虽然微小，但方向始终垂直于轨道法向量与极轴所张成的平面，并且不会在时间平均中被抵消。正是它在每一圈中持续不断地作用，才推动着轨道平面缓慢而稳定地进动，最终造就了太阳同步轨道那样奇妙的特性。

（张朝阳推导卫星受到的平均力矩）

轨道平面的进动速率

角动量定理告诉我们，物体角动量随时间的变化率等于它所受到的力矩：

在我们讨论的问题中，卫星受到的瞬时力矩虽然存在，但方向与大小在一个轨道周期内快速振荡。按照微扰论的精神，真正产生长期效应的，是这一周期内的平均力矩。如图2所示，平均力矩的方向始终垂直于由地球极轴与轨道角动量张成的平面内。于是，它不会改变角动量的大小，只会动角动量的端点在垂直于极轴的平面内，绕极轴做匀速圆周运动，这正是进动。

图2. 角动量进动示意图

记角动量矢量与极轴的夹角为，则端点轨迹的半径为。类比匀速圆周运动的向心力公式，可以得到绕转的圆频率与平均力矩大小之间满足：

由此可以解出

利用角动量与轨道方程参数的关系，可以得到

对于圆轨道，，。圆轨道上卫星的公转角速度可由向心力公式求得：

将上面的结果代入(3)中，我们就推导出了工程中常用的太阳同步轨道平面进动速率公式

其中是无量纲质量四极矩系数，是描述地球非球形引力场最重要的一个系数。

在实际应用中，通过合理选择轨道半径（相当于选择轨道高度）和倾角，可以使轨道平面按大约为每天的速率缓慢进动，与地球公转的角速度大致保持一致，使得轨道平面始终与太阳光线保持固定的夹角。需要注意的是，当时，不难推知进动速率。从而，太阳同步轨道所在的平面必然不可能与赤道完全垂直——即卫星不能恰好经过南北极点，而是需要一个适当偏离的倾角，才能在合适的进动速率下完成它的使命。

（张朝阳推导太阳同步轨道平面进动速率公式）

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